Calculator Paradoxul Cutiei lui Bertrand
Explorează natura contraintuitivă a probabilității condiționate
Paradoxul Cutiei lui Bertrand este o enigmă celebră de probabilitate care demonstrează cum intuiția noastră despre probabilitate ne poate uneori induce în eroare. Paradoxul implică trei cutii:
- Cutia 1: Conține două monede de aur
- Cutia 2: Conține o monedă de aur și o monedă de argint
- Cutia 3: Conține două monede de argint
Paradoxul apare când selectezi aleatoriu o cutie, extragi aleatoriu o monedă din ea, iar moneda se dovedește a fi de aur. Mulți oameni gândesc intuitiv că probabilitatea să fi ales Cutia 1 (cu două monede de aur) este 2/3, dar răspunsul corect este de fapt 1/3.
Problema urmează acești pași:
- Selectezi aleatoriu una dintre cele trei cutii
- Extragi aleatoriu o monedă din cutia selectată
- Observi că moneda este de aur
- Trebuie să determini probabilitatea să fi selectat Cutia 1 (cutia cu două monede de aur)
Cheia pentru înțelegerea acestui paradox este recunoașterea faptului că aceasta este o problemă de probabilitate condiționată și aplicarea corectă a teoremei lui Bayes.
Concepția greșită cea mai comună este gândirea că, deoarece am extras o monedă de aur, trebuie să fie mai probabil să fi ales Cutia 1. Raționamentul este de obicei:
- Cutia 1 are două monede de aur, deci este mai probabil ca moneda noastră de aur să provină de acolo
- Cutia 2 are doar o monedă de aur, deci este mai puțin probabil să provină de acolo
- Cutia 3 nu are monede de aur, deci o putem elimina
- Prin urmare, trebuie să fie de două ori mai probabil să fie Cutia 1 decât Cutia 2 (ducând la probabilitatea incorectă de 2/3)
Acest raționament este greșit deoarece nu ia în considerare corect probabilitățile condiționate implicate.
Să rezolvăm aceasta folosind teorema lui Bayes:
Probabilități a priori:
- P(Cutia 1) = 1/3
- P(Cutia 2) = 1/3
- P(Cutia 3) = 1/3
Verosimilități:
- P(Aur | Cutia 1) = 1 (ambele monede sunt de aur)
- P(Aur | Cutia 2) = 1/2 (una din două monede este de aur)
- P(Aur | Cutia 3) = 0 (nicio monedă de aur)
Folosind teorema lui Bayes:
P(Cutia 1 | Aur) = P(Aur | Cutia 1) × P(Cutia 1) / P(Aur)
Unde P(Aur) = 1 × 1/3 + 1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2
Deci: P(Cutia 1 | Aur) = (1 × 1/3) / (1/2) = 1/3
Înțelegerea Paradoxului Cutiei lui Bertrand are implicații importante pentru:
- Diagnostic Medical: Înțelegerea modului în care rezultatele testelor afectează probabilitatea de a avea o afecțiune
- Controlul Calității: Interpretarea rezultatelor eșantionării în producție
- Cercetare Științifică: Evitarea prejudecăților în proiectarea experimentală și interpretarea datelor
- Luarea Deciziilor: Recunoașterea momentelor când intuiția despre probabilități poate fi înșelătoare
- Evaluarea Riscurilor: Evaluarea corectă a probabilităților condiționate în scenarii de risc