Calcolatore del Paradosso della Scatola di Bertrand
Esplora la natura controintuitiva della probabilità condizionata
Il Paradosso della Scatola di Bertrand è un famoso enigma di probabilità che dimostra come la nostra intuizione sulla probabilità possa a volte portarci fuori strada. Il paradosso coinvolge tre scatole:
- Scatola 1: Contiene due monete d'oro
- Scatola 2: Contiene una moneta d'oro e una moneta d'argento
- Scatola 3: Contiene due monete d'argento
Il paradosso emerge quando selezioni casualmente una scatola, estrai casualmente una moneta da essa, e la moneta risulta essere d'oro. Molte persone pensano intuitivamente che la probabilità di aver scelto la Scatola 1 (con due monete d'oro) sia 2/3, ma la risposta corretta è in realtà 1/3.
Il problema segue questi passaggi:
- Selezioni casualmente una delle tre scatole
- Estrai casualmente una moneta dalla scatola selezionata
- Osservi che la moneta è d'oro
- Devi determinare la probabilità che tu abbia selezionato la Scatola 1 (la scatola con due monete d'oro)
La chiave per comprendere questo paradosso è riconoscere che si tratta di un problema di probabilità condizionata e applicare correttamente il teorema di Bayes.
L'errore più comune è pensare che, poiché abbiamo estratto una moneta d'oro, deve essere più probabile che abbiamo scelto la Scatola 1. Il ragionamento di solito è:
- La Scatola 1 ha due monete d'oro, quindi è più probabile che la nostra moneta d'oro provenga da lì
- La Scatola 2 ha solo una moneta d'oro, quindi è meno probabile che provenga da lì
- La Scatola 3 non ha monete d'oro, quindi possiamo eliminarla
- Pertanto, deve essere due volte più probabile che sia la Scatola 1 rispetto alla Scatola 2 (portando alla probabilità errata di 2/3)
Questo ragionamento è errato perché non tiene correttamente conto delle probabilità condizionate coinvolte.
Risolviamo questo usando il teorema di Bayes:
Probabilità a priori:
- P(Scatola 1) = 1/3
- P(Scatola 2) = 1/3
- P(Scatola 3) = 1/3
Verosimiglianze:
- P(Oro | Scatola 1) = 1 (entrambe le monete sono d'oro)
- P(Oro | Scatola 2) = 1/2 (una delle due monete è d'oro)
- P(Oro | Scatola 3) = 0 (nessuna moneta d'oro)
Usando il teorema di Bayes:
P(Scatola 1 | Oro) = P(Oro | Scatola 1) × P(Scatola 1) / P(Oro)
Dove P(Oro) = 1 × 1/3 + 1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2
Quindi: P(Scatola 1 | Oro) = (1 × 1/3) / (1/2) = 1/3
La comprensione del Paradosso della Scatola di Bertrand ha importanti implicazioni per:
- Diagnosi Medica: Comprendere come i risultati dei test influenzano la probabilità di avere una condizione
- Controllo Qualità: Interpretare i risultati del campionamento nella produzione
- Ricerca Scientifica: Evitare bias nella progettazione sperimentale e nell'interpretazione dei dati
- Processo Decisionale: Riconoscere quando l'intuizione sulle probabilità può essere fuorviante
- Valutazione del Rischio: Valutare correttamente le probabilità condizionate negli scenari di rischio