Kalkulator Paradoks Kotak Bertrand
Jelajahi sifat kontraintuitif dari probabilitas bersyarat
Paradoks Kotak Bertrand adalah teka-teki probabilitas terkenal yang menunjukkan bagaimana intuisi kita tentang probabilitas terkadang dapat menyesatkan. Paradoks ini melibatkan tiga kotak:
- Kotak 1: Berisi dua koin emas
- Kotak 2: Berisi satu koin emas dan satu koin perak
- Kotak 3: Berisi dua koin perak
Paradoks muncul ketika Anda memilih secara acak sebuah kotak, mengambil secara acak satu koin darinya, dan koin tersebut ternyata emas. Banyak orang secara intuitif berpikir bahwa probabilitas mereka memilih Kotak 1 (dengan dua koin emas) adalah 2/3, tetapi jawaban yang benar sebenarnya adalah 1/3.
Masalah ini mengikuti langkah-langkah berikut:
- Anda memilih secara acak salah satu dari tiga kotak
- Anda mengambil secara acak satu koin dari kotak yang dipilih
- Anda mengamati bahwa koin tersebut adalah emas
- Anda harus menentukan probabilitas bahwa Anda telah memilih Kotak 1 (kotak dengan dua koin emas)
Kunci untuk memahami paradoks ini adalah mengenali bahwa ini adalah masalah probabilitas bersyarat dan menerapkan Teorema Bayes dengan benar.
Kesalahpahaman yang paling umum adalah berpikir bahwa karena kita mengambil koin emas, pasti lebih mungkin kita memilih Kotak 1. Penalaran biasanya seperti ini:
- Kotak 1 memiliki dua koin emas, jadi lebih mungkin koin emas kita berasal dari sana
- Kotak 2 hanya memiliki satu koin emas, jadi kurang mungkin berasal dari sana
- Kotak 3 tidak memiliki koin emas, jadi kita bisa mengeliminasinya
- Oleh karena itu, pasti dua kali lebih mungkin itu adalah Kotak 1 daripada Kotak 2 (yang mengarah ke probabilitas salah 2/3)
Penalaran ini salah karena tidak memperhitungkan probabilitas bersyarat dengan benar.
Mari kita selesaikan ini menggunakan Teorema Bayes:
Probabilitas Prior:
- P(Kotak 1) = 1/3
- P(Kotak 2) = 1/3
- P(Kotak 3) = 1/3
Likelihood:
- P(Emas | Kotak 1) = 1 (kedua koin adalah emas)
- P(Emas | Kotak 2) = 1/2 (satu dari dua koin adalah emas)
- P(Emas | Kotak 3) = 0 (tidak ada koin emas)
Menggunakan Teorema Bayes:
P(Kotak 1 | Emas) = P(Emas | Kotak 1) × P(Kotak 1) / P(Emas)
Di mana P(Emas) = 1 × 1/3 + 1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2
Jadi: P(Kotak 1 | Emas) = (1 × 1/3) / (1/2) = 1/3
Memahami Paradoks Kotak Bertrand memiliki implikasi penting untuk:
- Diagnosis Medis: Memahami bagaimana hasil tes mempengaruhi probabilitas memiliki suatu kondisi
- Kontrol Kualitas: Menginterpretasikan hasil sampling dalam manufaktur
- Penelitian Ilmiah: Menghindari bias dalam desain eksperimen dan interpretasi data
- Pengambilan Keputusan: Mengenali kapan intuisi tentang probabilitas bisa menyesatkan
- Penilaian Risiko: Mengevaluasi probabilitas bersyarat dengan benar dalam skenario risiko