Kalkulator Akar Kompleks
Hitung akar pangkat n dari bilangan kompleks
Kalkulator Akar Kompleks
Daftar Isi
Pengertian Akar Kompleks
Akar kompleks adalah solusi dari persamaan z^n = a + bi, dimana:
- n adalah indeks akar (bilangan bulat positif)
- a + bi adalah bilangan kompleks yang dicari akarnya
- Setiap bilangan kompleks memiliki n akar yang berbeda
- Akar-akar tersebut membentuk poligon beraturan pada bidang kompleks
Rumus dan Metode
Untuk menghitung akar kompleks, kita menggunakan bentuk polar:
- Ubah a + bi ke bentuk polar: r(cos θ + i sin θ)
- r = √(a² + b²)
- θ = arctan(b/a)
- Akar ke-k: r^(1/n)(cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n))
- k = 0, 1, ..., n-1
Contoh Soal
Contoh 1: Akar kuadrat dari 1 + i
Penyelesaian:
- r = √(1² + 1²) = √2
- θ = arctan(1/1) = π/4
- z₁ = √√2(cos(π/8) + i sin(π/8))
- z₂ = √√2(cos(9π/8) + i sin(9π/8))
Contoh 2: Akar kubik dari -8
Penyelesaian:
- r = 8
- θ = π
- z₁ = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
- z₂ = 2(cos(π) + i sin(π)) = -2
- z₃ = 2(cos(5π/3) + i sin(5π/3))
Aplikasi dalam Kehidupan
Akar kompleks memiliki berbagai aplikasi dalam:
- Analisis rangkaian listrik
- Teori kontrol sistem
- Mekanika kuantum
- Pemrosesan sinyal
- Desain filter digital
- Analisis getaran