Calculateur du Paradoxe de la Boîte de Bertrand
Explorez la nature contre-intuitive de la probabilité conditionnelle
Le Paradoxe de la Boîte de Bertrand est une célèbre énigme de probabilité qui démontre comment notre intuition sur les probabilités peut parfois nous induire en erreur. Le paradoxe implique trois boîtes :
- Boîte 1 : Contient deux pièces d'or
- Boîte 2 : Contient une pièce d'or et une pièce d'argent
- Boîte 3 : Contient deux pièces d'argent
Le paradoxe survient lorsque vous sélectionnez au hasard une boîte, tirez au hasard une pièce de celle-ci, et que la pièce s'avère être en or. Beaucoup de gens pensent intuitivement que la probabilité d'avoir choisi la Boîte 1 (avec deux pièces d'or) est de 2/3, mais la bonne réponse est en fait 1/3.
Le problème suit ces étapes :
- Vous sélectionnez au hasard une des trois boîtes
- Vous tirez au hasard une pièce de la boîte sélectionnée
- Vous observez que la pièce est en or
- Vous devez déterminer la probabilité d'avoir sélectionné la Boîte 1 (la boîte avec deux pièces d'or)
La clé pour comprendre ce paradoxe est de reconnaître qu'il s'agit d'un problème de probabilité conditionnelle et d'appliquer correctement le théorème de Bayes.
L'idée fausse la plus courante est de penser que, puisque nous avons tiré une pièce d'or, il doit être plus probable que nous ayons choisi la Boîte 1. Le raisonnement est généralement :
- La Boîte 1 a deux pièces d'or, donc il est plus probable que notre pièce d'or en provienne
- La Boîte 2 n'a qu'une pièce d'or, donc il est moins probable qu'elle en provienne
- La Boîte 3 n'a pas de pièces d'or, donc nous pouvons l'éliminer
- Par conséquent, il doit être deux fois plus probable que ce soit la Boîte 1 que la Boîte 2 (menant à la probabilité incorrecte de 2/3)
Ce raisonnement est erroné car il ne prend pas correctement en compte les probabilités conditionnelles impliquées.
Résolvons cela en utilisant le théorème de Bayes :
Probabilités a priori :
- P(Boîte 1) = 1/3
- P(Boîte 2) = 1/3
- P(Boîte 3) = 1/3
Vraisemblances :
- P(Or | Boîte 1) = 1 (les deux pièces sont en or)
- P(Or | Boîte 2) = 1/2 (une des deux pièces est en or)
- P(Or | Boîte 3) = 0 (pas de pièces en or)
En utilisant le théorème de Bayes :
P(Boîte 1 | Or) = P(Or | Boîte 1) × P(Boîte 1) / P(Or)
Où P(Or) = 1 × 1/3 + 1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2
Donc : P(Boîte 1 | Or) = (1 × 1/3) / (1/2) = 1/3
La compréhension du Paradoxe de la Boîte de Bertrand a des implications importantes pour :
- Diagnostic Médical : Comprendre comment les résultats des tests affectent la probabilité d'avoir une condition
- Contrôle Qualité : Interpréter les résultats d'échantillonnage en fabrication
- Recherche Scientifique : Éviter les biais dans la conception expérimentale et l'interprétation des données
- Prise de Décision : Reconnaître quand l'intuition sur les probabilités peut être trompeuse
- Évaluation des Risques : Évaluer correctement les probabilités conditionnelles dans les scénarios de risque