Calculateur de Nombres Complexes
Effectuez des opérations arithmétiques avec des nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre qui combine un nombre réel et un nombre imaginaire sous la forme a + bi, où a est la partie réelle, b est la partie imaginaire, et i est l'unité imaginaire (i² = -1). Les nombres complexes étendent le concept de la droite numérique unidimensionnelle à un plan complexe bidimensionnel, permettant de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles.
Addition et soustraction
Additionner ou soustraire les parties réelles et imaginaires séparément : (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Multiplication
Utiliser la méthode FOIL et se rappeler que i² = -1 : (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Division
Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
- Module (|z|) : La distance de l'origine au point dans le plan complexe, calculée comme √(a² + b²)
- Argument (arg z) : L'angle entre l'axe réel positif et la ligne de l'origine au point, calculé comme tan⁻¹(b/a)
- Conjugué complexe : Pour z = a + bi, son conjugué est z̄ = a - bi
- Forme polaire : z = r(cos θ + i sin θ), où r est le module et θ est l'argument
Les nombres complexes sont utilisés dans de nombreux domaines :
- Génie électrique et analyse de circuits
- Mécanique quantique et fonctions d'onde
- Traitement du signal et systèmes de contrôle
- Infographie et transformations géométriques
- Dynamique des fluides et aérodynamique
- Algèbre avancée et théorie des nombres
Exemple 1 : Addition
- (3 + 2i) + (1 - 4i)
- = (3 + 1) + (2 - 4)i
- = 4 - 2i
Exemple 2 : Multiplication
- (2 + i)(1 + 3i)
- = 2(1) + 2(3i) + i(1) + i(3i)
- = 2 + 6i + i - 3
- = -1 + 7i
- Ne pas oublier que i² = -1 lors de la multiplication des nombres complexes
- Utiliser les conjugués complexes pour rationaliser les dénominateurs dans la division
- Se rappeler que les nombres complexes peuvent être représentés sous forme rectangulaire (a + bi) et polaire (r∠θ)
- S'exercer à visualiser les nombres complexes dans le plan complexe
- Faire attention aux signes lors de l'exécution des opérations