Calculadora de Raíces Complejas
Calcula raíces n-ésimas de números complejos
¿Qué son las Raíces Complejas?
Las raíces complejas son las soluciones de ecuaciones de la forma z^n = a + bi, donde z es el número complejo desconocido que estamos buscando, n es un entero positivo (el índice de la raíz), y a + bi es un número complejo dado. Al encontrar la raíz n-ésima de un número complejo, siempre hay exactamente n soluciones distintas, distribuidas uniformemente alrededor de un círculo en el plano complejo.
Fórmula de De Moivre
La fórmula de De Moivre es esencial para encontrar raíces complejas. Para un número complejo en forma polar r∠θ, sus raíces n-ésimas están dadas por:
z_k = r^(1/n) × (cos((θ + 2πk)/n) + i×sin((θ + 2πk)/n))
donde:
- r es el módulo (magnitud) del número complejo
- θ es el argumento (ángulo) en radianes
- k varía de 0 a n-1
- n es el índice de la raíz
Cómo Encontrar Raíces Complejas
- Convertir el número complejo a forma polar (r∠θ)
- Calcular la raíz n-ésima del módulo (r^(1/n))
- Dividir el argumento por n y sumar 2πk/n para k = 0, 1, ..., n-1
- Convertir cada resultado de vuelta a forma rectangular (a + bi)
Aplicaciones
Las raíces complejas tienen varias aplicaciones en:
- Resolución de ecuaciones polinómicas
- Procesamiento y análisis de señales
- Ingeniería de sistemas de control
- Análisis de circuitos eléctricos
- Cálculos de mecánica cuántica
- Gráficos por computadora y animación
Ejemplos
Ejemplo 1: Raíz Cuadrada
- Encontrar √(1 + i)
- r = √2, θ = π/4
- Dos raíces:
- z₁ = 1.0897 + 0.4551i
- z₂ = -0.4551 - 1.0897i
Ejemplo 2: Raíz Cúbica
- Encontrar ∛(-8)
- r = 8, θ = π
- Tres raíces:
- z₁ = -2
- z₂ = 1 + 1.732i
- z₃ = 1 - 1.732i
Propiedades de las Raíces Complejas
- Todo número complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas
- Las raíces forman un polígono regular en el plano complejo
- Las raíces están igualmente espaciadas alrededor de un círculo con radio r^(1/n)
- El ángulo entre raíces consecutivas es 2π/n radianes
- El producto de todas las raíces n-ésimas es igual al número original elevado a la potencia 1
Errores Comunes a Evitar
- Olvidar que los números complejos tienen múltiples raíces
- Usar medidas de ángulo incorrectas (grados vs. radianes)
- No considerar todos los posibles valores de k
- Convertir incorrectamente entre formas rectangular y polar
- Cometer errores de signo en los cálculos trigonométricos