Calculadora de la Paradoja de la Caja de Bertrand
Explora la naturaleza contraintuitiva de la probabilidad condicional
La Paradoja de la Caja de Bertrand es un famoso enigma de probabilidad que demuestra cómo nuestra intuición sobre la probabilidad puede a veces llevarnos por el camino equivocado. La paradoja involucra tres cajas:
- Caja 1: Contiene dos monedas de oro
- Caja 2: Contiene una moneda de oro y una de plata
- Caja 3: Contiene dos monedas de plata
La paradoja surge cuando seleccionas al azar una caja, extraes al azar una moneda de ella, y resulta ser de oro. Muchas personas intuitivamente piensan que la probabilidad de haber elegido la Caja 1 (con dos monedas de oro) es 2/3, pero la respuesta correcta es en realidad 1/3.
El problema sigue estos pasos:
- Seleccionas al azar una de las tres cajas
- Extraes al azar una moneda de la caja seleccionada
- Observas que la moneda es de oro
- Debes determinar la probabilidad de que hayas seleccionado la Caja 1 (la caja con dos monedas de oro)
La clave para entender esta paradoja es reconocer que se trata de un problema de probabilidad condicional y aplicar correctamente el Teorema de Bayes.
El concepto erróneo más común es pensar que, dado que extrajimos una moneda de oro, debe ser más probable que hayamos elegido la Caja 1. El razonamiento suele ser:
- La Caja 1 tiene dos monedas de oro, por lo que es más probable que nuestra moneda de oro provenga de allí
- La Caja 2 tiene solo una moneda de oro, por lo que es menos probable que provenga de allí
- La Caja 3 no tiene monedas de oro, por lo que podemos eliminarla
- Por lo tanto, debe ser dos veces más probable que sea la Caja 1 que la Caja 2 (lo que lleva a la probabilidad incorrecta de 2/3)
Este razonamiento es erróneo porque no tiene en cuenta correctamente las probabilidades condicionales involucradas.
Resolvamos esto usando el Teorema de Bayes:
Probabilidades Previas:
- P(Caja 1) = 1/3
- P(Caja 2) = 1/3
- P(Caja 3) = 1/3
Verosimilitudes:
- P(Oro | Caja 1) = 1 (ambas monedas son de oro)
- P(Oro | Caja 2) = 1/2 (una de dos monedas es de oro)
- P(Oro | Caja 3) = 0 (no hay monedas de oro)
Usando el Teorema de Bayes:
P(Caja 1 | Oro) = P(Oro | Caja 1) × P(Caja 1) / P(Oro)
Donde P(Oro) = 1 × 1/3 + 1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2
Por lo tanto: P(Caja 1 | Oro) = (1 × 1/3) / (1/2) = 1/3
Comprender la Paradoja de la Caja de Bertrand tiene importantes implicaciones para:
- Diagnóstico Médico: Comprender cómo los resultados de las pruebas afectan la probabilidad de tener una condición
- Control de Calidad: Interpretar resultados de muestreo en manufactura
- Investigación Científica: Evitar sesgos en el diseño experimental y la interpretación de datos
- Toma de Decisiones: Reconocer cuándo la intuición sobre las probabilidades puede ser engañosa
- Evaluación de Riesgos: Evaluar correctamente las probabilidades condicionales en escenarios de riesgo