Bertrands Box-Paradoxon Rechner
Erkunden Sie die kontraintuitive Natur der bedingten Wahrscheinlichkeit
Das Bertrandsche Box-Paradoxon ist ein berühmtes Wahrscheinlichkeitsrätsel, das zeigt, wie unsere Intuition bei Wahrscheinlichkeiten manchmal in die Irre führen kann. Das Paradoxon beinhaltet drei Boxen:
- Box 1: Enthält zwei Goldmünzen
- Box 2: Enthält eine Goldmünze und eine Silbermünze
- Box 3: Enthält zwei Silbermünzen
Das Paradoxon entsteht, wenn Sie zufällig eine Box auswählen, zufällig eine Münze daraus ziehen, und diese Münze Gold ist. Viele Menschen denken intuitiv, die Wahrscheinlichkeit, dass sie Box 1 (mit zwei Goldmünzen) gewählt haben, sei 2/3, aber die richtige Antwort ist tatsächlich 1/3.
Das Problem folgt diesen Schritten:
- Sie wählen zufällig eine der drei Boxen aus
- Sie ziehen zufällig eine Münze aus der gewählten Box
- Sie stellen fest, dass die Münze aus Gold ist
- Sie müssen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass Sie Box 1 (die Box mit zwei Goldmünzen) gewählt haben
Der Schlüssel zum Verständnis dieses Paradoxons liegt darin zu erkennen, dass es sich um ein Problem der bedingten Wahrscheinlichkeit handelt und der Satz von Bayes korrekt angewendet werden muss.
Das häufigste Missverständnis besteht darin zu denken, dass es wahrscheinlicher sein muss, Box 1 gewählt zu haben, da wir eine Goldmünze gezogen haben. Die Überlegung lautet meist:
- Box 1 hat zwei Goldmünzen, also ist es wahrscheinlicher, dass unsere Goldmünze von dort stammt
- Box 2 hat nur eine Goldmünze, also ist es weniger wahrscheinlich, dass sie von dort stammt
- Box 3 hat keine Goldmünzen, also können wir sie ausschließen
- Daher muss es doppelt so wahrscheinlich sein, dass es Box 1 ist wie Box 2 (was zur falschen Wahrscheinlichkeit von 2/3 führt)
Diese Überlegung ist fehlerhaft, weil sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht richtig berücksichtigt.
Lösen wir dies mit dem Satz von Bayes:
A-priori-Wahrscheinlichkeiten:
- P(Box 1) = 1/3
- P(Box 2) = 1/3
- P(Box 3) = 1/3
Likelihoods:
- P(Gold | Box 1) = 1 (beide Münzen sind aus Gold)
- P(Gold | Box 2) = 1/2 (eine von zwei Münzen ist aus Gold)
- P(Gold | Box 3) = 0 (keine Goldmünzen)
Mit dem Satz von Bayes:
P(Box 1 | Gold) = P(Gold | Box 1) × P(Box 1) / P(Gold)
Wobei P(Gold) = 1 × 1/3 + 1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2
Daher: P(Box 1 | Gold) = (1 × 1/3) / (1/2) = 1/3
Das Verständnis des Bertrandschen Box-Paradoxons hat wichtige Implikationen für:
- Medizinische Diagnose: Verstehen, wie Testergebnisse die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung beeinflussen
- Qualitätskontrolle: Interpretation von Stichprobenergebnissen in der Fertigung
- Wissenschaftliche Forschung: Vermeidung von Verzerrungen bei Versuchsplanung und Dateninterpretation
- Entscheidungsfindung: Erkennen, wann die Intuition bei Wahrscheinlichkeiten irreführend sein kann
- Risikobewertung: Korrekte Bewertung bedingter Wahrscheinlichkeiten in Risikoszenarien