Quadratische Ergänzung Rechner

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um ein quadratisches Polynom in Scheitelpunktform umzuwandeln. Diese Form ist besonders nützlich, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen und ihre Eigenschaften zu analysieren. Die allgemeine Form ax² + bx + c wird in die Form a(x - h)² + k umgewandelt, wobei (h, k) der Scheitelpunkt der Parabel ist.

Die Methode folgt diesen Schritten:

1. Falls a ≠ 1, faktorisiere a aus dem quadratischen Ausdruck
2. Berechne (b/2a)², wobei b der Koeffizient des linearen Terms ist
3. Addiere und subtrahiere (b/2a)² innerhalb der Klammer, um die Form zu erhalten
4. Fasse die ersten drei Terme zu einem perfekten Quadrat zusammen
5. Vereinfache den konstanten Term außerhalb des perfekten Quadrats

Wandle x² + 6x + 5 in Scheitelpunktform um:

1. Da a = 1 ist, müssen wir nicht faktorisieren
2. (b/2)² = (6/2)² = 3² = 9
3. x² + 6x + 9 - 9 + 5
4. (x² + 6x + 9) - 4
5. (x + 3)² - 4

Die Scheitelpunktform ist (x + 3)² - 4, und der Scheitelpunkt ist (-3, -4).

• Einfache Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel
• Leichte Erkennung der Öffnungsrichtung und Streckung/Stauchung
• Vereinfachte Analyse der Symmetrie der Funktion
• Hilfreich bei der Bestimmung von Extremwerten

• Vergessen Sie nicht, (b/2a)² sowohl zu addieren als auch zu subtrahieren
• Achten Sie auf das korrekte Vorzeichen beim Verschieben des konstanten Terms
• Bei a ≠ 1 muss zuerst a ausgeklammert werden
• Überprüfen Sie Ihre Umformung durch Ausmultiplizieren

Die quadratische Ergänzung wird verwendet für:

• Bestimmung von Extremwerten quadratischer Funktionen
• Analyse von Parabeln in der analytischen Geometrie
• Lösung quadratischer Gleichungen
• Optimierungsprobleme in der Mathematik
• Untersuchung von Bewegungsbahnen in der Physik