Komplexe Zahlen Rechner
Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, die aus einem Realteil und einem Imaginärteil bestehen. Sie werden in der Form a + bi geschrieben, wobei a der Realteil, b der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit ist (i² = -1). Komplexe Zahlen ermöglichen es uns, mathematische Operationen durchzuführen, die mit reellen Zahlen allein nicht möglich wären.
Addition und Subtraktion:
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Realteil und Imaginärteil werden separat addiert oder subtrahiert.
Multiplikation:
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Anwendung der binomischen Formel unter Berücksichtigung von i² = -1.
Division:
(a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
Erweitern mit der komplexen Konjugierten des Nenners.
- Der Betrag (Modulus) einer komplexen Zahl z = a + bi ist |z| = √(a² + b²)
- Das Argument (Phase) ist der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Vektor der komplexen Zahl
- Jede komplexe Zahl kann in Polarform r(cos θ + i sin θ) dargestellt werden
- Die komplexe Konjugierte von a + bi ist a - bi
Komplexe Zahlen finden Anwendung in vielen Bereichen:
- Elektrotechnik und Wechselstromanalyse
- Quantenmechanik und theoretische Physik
- Signalverarbeitung und Regelungstechnik
- Computergrafik und Bildverarbeitung
- Fraktale Geometrie und Chaostheorie
- Bei der Addition und Subtraktion: Behandeln Sie Real- und Imaginärteile getrennt
- Bei der Multiplikation: Denken Sie an die Distributivgesetze und i² = -1
- Bei der Division: Erweitern Sie mit der komplexen Konjugierten des Nenners
- Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung
- Vergessen Sie nicht i² = -1 bei der Multiplikation
- Achten Sie auf die Vorzeichen bei der Subtraktion und Division
- Verwechseln Sie nicht die Regeln für reelle und komplexe Zahlen
- Bei der Division durch Null ist das Ergebnis nicht definiert