Komplexe Wurzeln Rechner

Komplexe Wurzeln sind die Lösungen der Gleichung w^n = z, wobei z eine komplexe Zahl und n ein positiver ganzer Wurzelindex ist. Anders als bei reellen Zahlen hat jede komplexe Zahl genau n verschiedene n-te Wurzeln, die gleichmäßig auf einem Kreis in der komplexen Ebene verteilt sind. Die Berechnung dieser Wurzeln erfolgt mithilfe von De Moivre's Formel.

De Moivre's Formel ist ein leistungsfähiges Werkzeug zur Berechnung von Wurzeln komplexer Zahlen. Für eine komplexe Zahl z = r(cos θ + i sin θ) in Polarform sind die n-ten Wurzeln gegeben durch:

w_k = r^(1/n) × (cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n))

wobei k = 0, 1, 2, ..., n-1 die n verschiedenen Wurzeln identifiziert.

1. Konvertiere die komplexe Zahl z = a + bi in Polarform r(cos θ + i sin θ)
2. Berechne den Betrag r = √(a² + b²)
3. Berechne das Argument θ = arctan(b/a) mit Berücksichtigung des Quadranten
4. Berechne r^(1/n) für den Betrag der Wurzeln
5. Wende De Moivre's Formel für k = 0 bis n-1 an
6. Konvertiere die Ergebnisse zurück in die algebraische Form a + bi

Komplexe Wurzeln finden Anwendung in:

• Lösung polynomialer Gleichungen
• Quantenmechanik und Wellentheorie
• Elektrotechnik und Signalverarbeitung
• Geometrische Transformationen
• Fraktale Mathematik

• Beachten Sie die korrekte Bestimmung des Arguments θ in allen Quadranten
• Vergessen Sie nicht, dass es immer n verschiedene n-te Wurzeln gibt
• Achten Sie auf die richtige Verwendung der Periodizität 2π
• Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Potenzieren

• Nutzen Sie einen Taschenrechner im Radianten-Modus für trigonometrische Berechnungen
• Zeichnen Sie die Wurzeln in der komplexen Ebene zur Visualisierung
• Überprüfen Sie die geometrische Interpretation: Die Wurzeln liegen auf einem Kreis
• Beachten Sie, dass der Abstand zwischen benachbarten Wurzeln 2π/n beträgt